게임 수학 - 게임 개발자가 꼭 알아야 할 핵심 수학 이론

Chapter 01 강의 소개 및 연산

01-01 환영

• 즐기자

01-02 덧셈과 뺄셈

• 기본적인 내용

01-03 어림수

• 기본적인 내용

01-04 곱셈과 숫자 블록

• 기본적인 내용

01-05 나눗셈

• 기본적인 내용

01-06 나머지

• 기본적인 내용

01-07 BODMAS

• 기본적인 내용

01-08 거듭제곱, 제곱과 세제곱

• 기본적인 내용

01-09 가로 계산기

• 기본적인 내용

01-10 소수의 제곱

• 기본적인 내용

01-11 제곱근

• 기본적인 내용

01-12 차트와 그래프 기초

• 기본적인 내용

01-13 그래프 아래 면적 기초

• 기본적인 내용

01-14 기울기 측정의 기초

• 기본적인 내용

01-15 거리와 속도, 시간의 관계

• 기본적인 내용

01-16 변화율

• 기본적인 내용

01-17 마법의 숫자 e

• e의 가장큰 특징은 무엇인가? 모든 구간에서 기울기가 e^x 이다 ( 03 : 12 )

01-18 로그 기초

• 기본적인 내용

01-19 로그의 밑변환 공식

• Logb(a)에 밑변환 공식을 적용해보면? ( 01 : 13 )

01-20 계승과 순열

• 기본적인 내용

01-21 기수법

• 기본적인 내용

01-22 과학적 표기법

• 2.702E4와 2.4E-3을 풀어 써보면? ( 04 : 29 )
• 위의 형태로 덧셈 뺄셈을 해보면? ( 04 : 53 )
• 위의 형태로 곱셈 나눗셈을 해보면? ( 07 : 36 )

Chapter 02 대수학과 방정식

02-25 대수학과 방정식 소개

Chapter 03 각도와 원에 대한 소개

03-45 각도와 원에 대한 소개

• 원과 이에 대한 기본적인 용어를 다룰 예정이다

03-46 원

• 원을 그리고 원에 대한 중요한 용어 5가지를 표시해보면? ( 03 : 28 )

03-47 파이란 무엇인가

• C / D = 𝝅 라는 개념을 만든 이유는 무엇인가? 이 방정식을 재배열해서 원의 지름이나 둘레의 길이(원주)를 찾기 위함이다 ( 01 : 16 )
• 반지름이 1인 단위 원의 둘레는 어떻게 될 지 계산해보면? ( 02 : 05 )
• 2𝝅 / D = 𝝅 이 식을 활용해 이 원의 지름의 길이를 구해보면? ( 02 : 51 )
• C / 2R = 𝝅 이 식을 활용해 원의 둘레에 대한 공식을 만들어 보면? ( 03 : 48 )
• τ(타우)의 의미는? 2𝝅 ( 04 : 33 )
• 반지름 8인 단위 원의 둘레의 길이는?

03-48 각도와 라디안

• 반지름 길이가 1이고 길이가 1인 호의 각도를 의미하는 것은? 라디안
• 360 = 2𝝅 = τ 이 식을 활용해 degree를 rad으로 변환하는 공식을 만들어 보면? ( 06 : 26 )
• 360 = 2𝝅 = τ 이 식을 활용해 rad을 degree로 변환하는 공식을 만들어 보면? ( 06 : 58 )
• 60°를 라디안으로 변환하면? ( 07 : 06 )
• τ/6(라디안 으로 표현된 값)을 degree로 변환하면? ( 08 : 06 )
• 120°를 라디안으로 변환하면? ( 09 : 25 )
• τ/8 또는 𝝅/4를 디그리로 변환하면? ( 09 : 40 )

03-49 삼각형

• 삼각형이란? 3개의 내각을 가진 도형입니다
• 세변이 같다는 것을 삼각형 변위에 표시하는 마크를 뭐라고 하는가? 해치 마크
• 내각의 합이 180도임을 증명해보면? ( 01 : 28 )

03-50 피타고라스의 정리

• 피타고라스의 정리를 기하학적으로 증명하면? 힌트는 아래에 있다 ( 03 : 41 )

03-51 사인, 코사인, 탄젠트 1부

• sin과 cos은 어떤 관계에 있는가? 반비례 관계 ( 01 : 59 )
• tan = sin / cos, sin(0), cos(0), tan(0)를 모두 그림으로 표현하면? ( 03 : 07 )
• tan(45), cos(45), sin(45)를 모두 그림으로 표현하면? ( 04 : 42 )
• tan(90), cos(90), sin(90)를 모두 그림으로 표현하면? ( 06 : 45 )

03-52 사인, 코사인, 탄젠트 2부

• sin(30), cos(30), tan(30)를 모두 그림으로 표현하면? ( 01 : 37 )
• sin(60), cos(60), tan(60)를 모두 그림으로 표현하면? ( 04 : 23 )
• ASTC에 대해 그림을 그리고 설명하면? ( 07 : 48 )
• ASTC는 어떨때 유용한가? ( 09 : 28 )

03-53 SOH CAH TOA

• 사인의 역함수는? 아크사인
• 코사인의 역함수는? 아크코사인
• 탄젝트의 역함수는? 아크탄젠트
• asin(3/5), acos(4/5), atan(3/4)를 모두 그림으로 표현하면? ( 06 : 47 )
• 포탑과 플레이어 사이의 각도가 25도이고 해당 탄젠트를 이루는 변이 각각 a와 3일때 a의 값은 어떻게 될지 그림으로 표현하면 그리고 이것을 어떤곳에 응용할수 있을까? ( 08 : 59 )

03-54 사인 법칙

• AAS 삼각형 행태에 대해 설명하면? ( 02 : 41 )
• SSA 삼각형 형태에 대해 설명하면? ( 06 : 07 )
• SSA 삼각형 형태에서 주의할 점을 설명하면? ( 07 : 56 )
• ASA 삼각형 형태에 대해 설명하면? ( 09 : 47 )
• 미지의 각도를 알아낼 때 어떤 법칙을 사용하면 되는가? ( 10 : 08 )

03-55 코사인 법칙

• SAS 삼각형 형태에 대해 설명하면? ( 01 : 06 )
• SSS 삼각형 형태에 대해 설명하면? ( 03 : 03 )

03-56 사인/코사인 법칙에 대한 설명

• 사인법칙을 증명하면? ( 00 : 42 )
• 코사인법칙을 증명하면? ( 04 : 32 )
• 수학이란 기존에 존재하는 개념을 사용하여, 그를 기반으로 다른 것을 만들어내는 것이다 ( 08 : 34 )

03-57 삼각형 문제의 해법

• 삼각형에 관한 의사 결정 트리를 만들어 보면? ( 00 : 18 )

03-58 삼각형 문제의 해법

• sin(θ) = cos(90 - θ)

03-59 사인파의 조작

• 원의 반지름이 커질수록 그래프의 진폭은 어떻게 되는가? 커진다 ( 00 : 27 )
• 진폭이란 무엇인가? 파동의 중간 지점에서 파동의 꼭대기까지 측정한 결과 ( 01 : 14 )
• 주파수를 바꾸려면 어떻게 하면 되는가? 사인안에 상수를 곱한다 ( 04 : 35 )
• 파동 전체가 y축을 기준으로 위아래로 이동하게 하려면 어떻게 하면 되는가? 함수 전체에 숫자를 더한다 ( 05 : 57 )
• 사인파를 코사인파로 만드는 방법은? 사인안에 90 degree를 더한다 ( 06 : 15 )
• 코사인파를 사인파로 만드는 방법은? 코사인안에 -90 degree를 더한다 ( 06 : 23 )
• 조명을 0에서 1로 만들고 다시 0으로 만드는 수식을 작성해보면? ( 06 : 35 )

03-60 파장의 합성

• 보강 간섭이란 무엇인가? 두 파장이 서로에게 간섭해서 높이를 키우는것 ( 00 : 40 )
• 상쇄 간섭이란 무엇인가? 두 파장을 더해 두 파장이 서로 사라지는것 ( 01: 01 )
• sin(x) + sin(2x)를 하면 어떻게 될까? 흥미로운 모양의 파장이 만들어진다 ( 01 : 25 )
• 이번 강좌의 의의는? 복잡한 파형을 만들기 위해 파장을 합성하자 ( 04 : 29 )

03-61 섹션 마무리

• 내용 정리

Chapter 04 벡터와 행렬

04-62 벡터와 행렬에 대한 소개

• 소개

04-63 벡터 읽고 쓰기

• 벡터란 무엇인가? 크기와 방향을 동시에 가지고 있는 무언가 ( 00 : 57 )
• 단위 벡터란 무엇인가? 크기가 1인 벡터 ( 01 : 17 )
• 벡터 표기법, 단위벡터 표기법, 벡터의 크기 표기법, 을 모두 적어보면? ( 05 : 16 )
• 변위 벡터를 수식으로 나타내고 그림으로 표현하면? ( 08 : 13 )

04-64 크기와 크기의 제곱

• 벡터의 크기를 수식으로 표기해보면? ( 01 : 08 )
• 피타고라스를 활용해 벡터 v의 크기를 구하는 수식을 작성해보면? ( 01 : 11 )
• 위에서 작성한 수식을 어떻게 수정해야 0에서 시작하지 않는 벡터에 대해서도 적용할 수 있을까? ( 02 : 25 )
• 3차원 벡터를 표현하는 수식을 작성해보면? ( 06 : 04 )
• 크기의 제곱을 사용하는 이유는? 제곱근 연산을 반복하면 급속도로 처리비용을 높이기 때문 ( 07 : 23 )
• 크기의 제곱을 기반으로 플레이어가 몬스터에게 발각 되었는지를 확인하는 수식을 작성하면? ( 09 : 25 )

04-65 좌표계

• 게임 엔진들은 주로 왼손 좌표계를 사용하고 모델링 툴은 주로 오른손 좌표계를 사용한다 ( 00 : 56 )
• 좌표계를 전환하는 방법은? 두 축을 서로 바꿔준다 ( 02 : 44 )

04-66 벡터의 덧셈

• 벡터a(0,4), 벡터b(2,2) 이 상황에서 바람의 영향을 받는 비행기의 움직임은 어떻게 계산해야 할까요? ( 01 : 34 )
• 세 벡터를 더하면 어떻게 될지 그림으로 표현하면? ( 04 : 49 )
• 벡터a - 벡터b를 다르게 표한하면? 벡터a + (-벡터b) ( 05 : 31 )
• 벡터a(0,4), -벡터b(2,2) 이 상황을 그림으로 표현하면? ( 05 : 55 )

• 위의 벡터에서 플레이어를 (11,0)에 위치시키면 카메라의 위치는 어떻게 될까요? ( 07 : 34 )

04-67 스칼라 곱셈

• Velocity = Vector 이고 Speed는 = Scalar이다 ( 01 : 41 )
• 벡터에 스칼라 곱을 어떻게 해주는가? 각 요소마다 곱해주면 된다 ( 02 : 15 )
• 벡터의 크기가 1이 아니라면 발생하는 문제는? 속도를 적용할 물체에 의도한 속도가 정확하게 반영되지 않는다 ( 03 : 45 )
• 속도가 1.25배 늘어나는 발판이 있고 원래 속도가 ( 0.2, 2.5 ) 라고 한다면 발판을 밟았을때 속도는? ( 04 : 13 )

04-68 벡터의 정규화

• 단위벡터 v를 구하는 공식을 작성하고 벡터(1,1)을 단위벡터로 바꿔보면? ( 01 : 18 )
• 벡터(5,12)를 단위벡터로 바꿔보면? ( 02 : 32 )

04-69 영벡터

• 벡터의 크기가 없다는 것은 도대체 무엇일까요? ( 00 : 50 )
• 벡터의 각 성분을 0으로 만들려면 어떻게 하면 되는가? ( 01 : 53 )

04-70 내적

• 내적의 또다른 이름은? 스칼라 곱, Scalar Product ( 01 : 29 )
• 내적 계산 방법을 설명하면? 벡터a와 벡터b의 내적은 각 벡터에서 x성분끼리의 곱을 구하고 y성분끼리의 곱을 구한다음 이를 더하면 된다 ( 02 : 25 )
• 벡터a·단위벡터b의 값은? ( 06 : 33 )

• 위의 식을 정규화 하면? ( 07 : 19 ) (참고)
• 위의 식을 변형해 θ를 구하면? ( 08 : 16 )
• Enemy의 포워드 벡터는 (1, 0) 이고 Enemy 입장에서 플레이어를 향한 벡터는 (-3, 4) 이다 이때 적의 시야각이 90도 라면 Enemy의 시야에 플레이어가 들어올까? ( 10 : 15 )

04-71 외적

• 외적은 교환 법칙이 성립 하는가? ( 03 : 15 )
• 외적을 연산하는 방법을 서술하면? ( 04 : 26 )
• 외적의 결과에 대해 설명하고 외적을 이루는 두 각도가 0°일 때 90°일 때 180°일 때의 결과에 대해 말하면? ( 08 : 44 )

04-72 반사

• 반사된 벡터를 구하는 식을 작성해보면? ( 04 : 00 )

04-73 평면으로의 사영

• 위의 식에서 법선 벡터가 자기자신과 내적을 하는것에 대한 의미를 설명하면? ( 03 : 53 )

04-74 행렬이란 무엇인가

• 전치란 무엇인가? 행과 열을 뒤집는것 ( 02 : 53 )
• 전치되었음을 표시해주기 위해 행렬에 위첨자로 표시해주는 문자는? T ( 03 : 31 )

04-75 행렬의 합 및 스칼라 곱셈

• 정리할만한 내용이 없음

04-76 인접행렬

• 4개의 정점이 있는 그래프는 행렬로 어떻게 표현할 수 있는가? 4*4의 인접 행렬로 표현할 수 있다 ( 05 : 14 )

04-77 행렬의 곱셈

• 인접 행렬을 제곱하면 어떤 결과를 얻는가? 두 꼭짓점 간에 정확히 두 번 움직여서 이동할 수 있는 경로의 개수 ( 01 : 14 )
• 곱셈의 결과 행렬은 몇행 몇열로 구성되는가? ( 04 : 56 )
• 행렬 곱셈을 하기전에 체크해야할 내용은? ( 05 : 50 )

04-78 단위행렬

• 단위 행렬 규칙을 나열해 보면? ( 01 : 29 )
• 어떤 행렬과 그 행렬의 역행렬을 곱하면 어떤 행렬이 만들어 지는가? ( 04 : 46 )

04-79 행렬식

• 행렬식이란 무엇인가? ( 00 : 22 )
• 행렬식을 만드는 방법은? ( 00 : 37 )
• 행렬식의 특징은? ( 01 : 16 )
• 라플라스 전개란? ( 01 : 58 )

04-80 역행렬

• 역행열을 계산해보면? ( 00 : 58 )
• 여인수 행렬이란? ( 04 : 03 )
• 수반 행렬이란? ( 04 : 58 )
• 역행열을 계산할 수 있는 다른 방법은? 가우스 요르단 소거법 ( 08 : 25 )

04-81 섹션 마무리

• 마무리

Chapter 05 회전과 보간

05-82 회전과 보간 소개

• 소개

05-83 벡터의 방향

• 벡터의 크기 즉 IIvII를 구하는 방법은? ( 05 : 05 )
• 3D 공간 상에서 한 벡터와 각 축이 이루는 각의 크기를 구하면? ( 05 : 22 )

05-84 허수

• 음수의 제곱근이 존재한다는 증거는? ( 01 : 23 )
• y = x^2 + 1 에서 y가 0 일때 근을 구해보면? ( 02 : 27 )
• 근의 개수는 지수와 같아야 한다 하지만 위의 근은 x축과 만나지 않는다 이것에 대해 설명하면? ( 02 : 54 부터 )
• 위의 문제를 해결하는 방법은? ( 04 : 15 )
• i를 한번, 두번, 세번, 네번 제곱한 결과를 좌표계로 표현하면? ( 05 : 49 )

05-85 복소수

• 복소평면 이란? ( 00 : 10 )
• 복소수란? ( 00 : 19 )
• 복소수를 사용하는 이유는? ( 01 : 46 )
• 복소수를 확장하면 어떻게 되는가? 사원수가 된다 ( 02 : 02 )
• 복소수 덧셈과 뺄셈을 기하하적으로 계산해보고, 대수적으로도 계산해보면? ( 02 : 30 )

05-86 복소평면

• (2 + 2i)(3 + i)를 계산하면? ( 00 : 20 )
• 곱셈 공식 말고 다른방식은? ( 01 : 22 )
• 위의 결과를 좌표평면에 표시한다면 그것이 의미 하는 바는? ( 03 : 04 )
• 두 개의 복소수를 곱한 결과에 대해 설명하면? ( 04 : 34 )
• 두 개의 복소수를 곱한 결과의 크기에 대해 설명하면? ( 05 : 29 )
• 복소수를 실수와 허수부로 표현하는 방법(직교 형식) 외에 어떤 방법이 있는가? 힌트는 극형식 ( 07 : 17 )

05-87 극좌표

• 극형식을 표기하는 멋진 방법은? 복소수를 사인과 코사인으로 나타내면 된다 ( 01 : 51 )
• 3 + 2i를 위의 형식으로 표기해보면? ( 02 : 55 )
• 복소수를 위와같이 표현하면 어떤 경우에 유용한가? 회전을 할 때 ( 03 : 30 )
• 극형식으로 곱셈을 해보면? ( 04 : 18 )
• 극형식으로 나눗셈을 해보면? ( 05 : 55 )
• 직교형식과 극형식은 각각 어떤 계산을 할 때 유리한가? ( 06 : 27 )

05-88 회전 행렬

• 크기가 1인 한 점을 벡터와 각으로 표현하고 회전 행렬식을 세워보면? ( 00 : 47 )
• 위에서 구한 행렬식으로 (2,0) 좌표를 30° 회전시킨 결과는? ( 05 : 06 )

05-89 오일러 행렬

• yaw, pitch, roll 각 축을 회전 시켰을때 각 축에대한 회전 행렬식을 세워보면? ( 02 : 26 )
• 오일러 회전 방식을 사용하여 물체를 회전할 때 주의할 점은? 순서 ( 08 : 09 )

05-90 짐벌락

• Roll축과 Pitch축이 짐벌락을 형성하고 있을때 Roll축을 회전시키면 어떤축이 회전하는가? Pitch축 ( 00 : 45 )
• 사원수를 사용하지 않고 짐벌락을 최대한 피하는 방법은? 회전 순서를 고려한다 ( 02 : 55 )

05-91 사원수란 무엇인가

• 복소수 a + bi 에서 어떤 처리를 해주면 사원수가 되는가? cj + dk를 추가 해준다 ( 00 : 35 )
• i, j, k 축은 서로 어떤 관계인가? 수직 ( 01 : 36 )
• 위의 축들과 실수 축은 수직인데 이것을 어떻게 표현할 것인가? 4차원을 생각해야 하는데 어렵다 ( 01 : 51 )
• 사원수를 표현하는 3가지 방법을 나열하면? ( 02 : 36 )

05-92 사원수 곱셈 1부

• 두 사원수를 곱하는 방법에 대해서 설명하면? ( 00 : 08 )
• 사원수에서 ab = ? ( 02 : 38 )

05-93 사원수 곱셈 2부

• 이전 강의 연장선

05-94 사원수 회전 1부

• 곱셈 규칙을 3D에 실제로 적용해보고 시각화 해보자 ( 00 : 44 )

05-95 사원수 회전 2부

• 두 사원수를 곱하면 어떤 일이 발생하는가? 4차원 회전이 발생한다 ( 00 : 05 )
• 사원수의 단점은? 180° 이상의 회전을 나타낼 수 없다 ( 06 : 14 )

05-96 선형 보간(LERP)

• 선형 보간 이란 무엇인가? 점 사이의 값들이 실제로 무엇일지에 대해 이론으로 추측하는것 ( 01 : 03 )
• 변수 a, b, t를 사용하는 경우 특정값이 어느 위치를 말하는지 나타내는 공식을 작성해보면? ( 03 : 38 )

05-97 구면 선형보간(SLERP)

• 구면 선형보간의 특징은? 점 사이를 직선으로 보간하지 않고 호로 보간한다 ( 00 : 29 )
• 선형 보간 공식을 구면 선형보간에 맞게 변형해보면? ( 00 : 49 )
• 위의 공식을 세부적으로 작성해보면? ( 04 : 20 )
• 위의 함수를 기반으로 예시를 테스트 해보면? ( 06 : 11 )

05-98 이징 함수

• 이자 함수 4가지 범주에 대해 설명하면? No Ease, Ease In, Ease Out, Ease InOut ( 00 : 19 )
• Ease In Quad 공식을 만들어 보면? ( 01 : 48 )
• Ease Out Quad 공식을 만들어 보면? ( 02 : 19 )
• Ease InOut Sine 공식을 만들어 보면? ( 03 : 26 )

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